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도형 면적/부피 계산기

원, 직사각형, 삼각형, 마름모, 타원 등 2D 평면도형의 넓이와 둘레부터 구, 원기둥, 직육면체, 원뿔, 각뿔 등 3D 입체도형의 겉넓이와 부피까지 실시간으로 정밀 연산합니다. 대화형 다이어그램과 단계별 수학 공식 유도 과정을 100% 클라이언트 환경에서 즉시 확인해보세요.

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치수 매개변수 (Parameters)

평면 위의 한 정점에서 일정한 거리에 있는 점들의 자취

5
대표 치수 프리셋
r = 5
원 (Circle)

연산 결과 (Results)

넓이 (Area)
78.54
원주 (Circumference)
31.42
대각선 길이 (Diagonal)
10
적용 수학 공식
A=πr2,C=2πrA = \pi r^2, \quad C = 2\pi r
단계별 계산 풀이 과정
#1A=π×(5)2=78.54A = \pi \times (5)^2 = 78.54
#2C=2×π×5=31.42C = 2 \times \pi \times 5 = 31.42
#3d=2×5=10d = 2 \times 5 = 10
Client-Side 100%

완벽한 프라이버시 & 실시간 연산

입력하신 모든 기하학적 치수 데이터와 계산 결과는 서버로 일절 전송되지 않으며, 사용자 기기(브라우저) 메모리 상에서 0.001ms 단위로 즉각 연산됩니다.

도형 계산기 활용 팁

  • 단위를 선택하면 결과의 길이(단위), 넓이(단위²), 부피(단위³)가 자동으로 변환 표기됩니다.
  • 소수점 자릿수 조절을 통해 정밀 엔지니어링 계산부터 간이 근사치까지 자유롭게 설정할 수 있습니다.
  • 입력창의 값을 실시간으로 수정하면 2D/3D SVG 도식과 단계별 공식 풀이가 즉시 동기화됩니다.
  • 복사 버튼을 클릭하여 학술 보고서, 도면 견적서, 과제 풀이용 텍스트를 바로 붙여넣기하세요.
기하학 상식 & 공식 가이드

2D/3D 기하학 공식과 일상 속 흥미로운 도형의 비밀

기하학(Geometry)은 고대 이집트의 토지 측량(Geo + Metry)에서 유래하여 피자 크기 비교, 캔 음료 디자인, 택배 포장 상자 최적화 등 우리 일상 곳곳에 깊숙이 녹아 있습니다.

본 계산기는 원, 삼각형, 직육면체, 원기둥, 토러스 등 12가지 주요 2D 및 3D 도형의 넓이, 둘레, 겉넓이, 부피를 실시간으로 연산하며, 누구나 쉽게 이해할 수 있는 단계별 공식 풀이와 흥미로운 기하학 상식을 함께 제공합니다.

112종 2D & 3D 완전 기하학 지원

원, 사각형, 삼각형, 타원뿐 아니라 구, 원기둥, 원뿔, 토러스 등 복합 입체도형까지 완벽 망라

2수식 렌더링 & 단계별 풀이 제공

결과값뿐만 아니라 치수 대입 과정과 공식 전개 단계를 명확한 LaTeX 수식으로 제공

3반응형 벡터 SVG 시각화

각 치수 매개변수(r, h, w, a 등)가 도형 도식 위에 시각적으로 명확하게 하이라이트

핵심 기하학 공식 총정리 일람표

도형 분류도형 명칭넓이 / 겉넓이 공식부피 공식특이사항
2D 평면원 (Circle)A=πr2A = \pi r^2-둘레 C=2πrC = 2\pi r
2D 평면직사각형 (Rectangle)A=w×hA = w \times h-대각선 d=w2+h2d = \sqrt{w^2 + h^2}
2D 평면삼각형 (Triangle)A=12bhA = \frac{1}{2} b h-헤론의 공식으로 3변 계산 가능
2D 평면사다리꼴 (Trapezoid)A=(a+b)h2A = \frac{(a + b) h}{2}-평행한 두 밑변의 평균 ×\times 높이
2D 평면타원 (Ellipse)A=πabA = \pi a b-둘레는 라마누잔 2차 근사 공식 적용
3D 입체구 (Sphere)SA=4πr2SA = 4 \pi r^2V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3아르키메데스의 외접 원기둥 부피 비 2:3
3D 입체원기둥 (Cylinder)SA=2πrh+2πr2SA = 2\pi r h + 2\pi r^2V=πr2hV = \pi r^2 h옆넓이 Alat=2πrhA_{\text{lat}} = 2\pi r h
3D 입체정육면체 (Cube)SA=6a2SA = 6a^2V=a3V = a^3공간대각선 D=a3D = a\sqrt{3}
3D 입체직육면체 (Cuboid)SA=2(lw+lh+wh)SA = 2(lw + lh + wh)V=l×w×hV = l \times w \times h공간대각선 D=l2+w2+h2D = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}
3D 입체원뿔 (Cone)SA=πr(r+r2+h2)SA = \pi r(r + \sqrt{r^2 + h^2})V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h모선 l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}
3D 입체정사각뿔 (Pyramid)SA=a2+2a(a2)2+h2SA = a^2 + 2a\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2}V=13a2hV = \frac{1}{3} a^2 h밑넓이 ×\times 높이 ×13\times \frac{1}{3}
3D 입체원환체 (Torus)SA=4π2RrSA = 4\pi^2 R rV=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2파푸스-굴딘 정리(Pappus theorem) 적용

1. 피자 사이즈의 비밀: 18인치 1판 vs 12인치 2판, 무엇이 더 많을까?

피자를 주문할 때 "12인치 2판을 시킬까, 아니면 18인치 1판을 시킬까?" 고민해 본 적이 있으신가요? 언뜻 보면 지름의 합이 24인치(12 + 12)인 2판이 더 많아 보이지만, 실제 면적을 계산해 보면 정반대의 결과가 나옵니다.
원의 넓이는 반지름의 제곱(r2r^2)에 비례하기 때문에 지름이 조금만 커져도 실제 피자의 크기는 기하급수적으로 커집니다:
• 18인치 피자 1판: 반지름 9인치→π×92≈254.5 in29\text{인치} \rightarrow \pi \times 9^2 \approx 254.5\text{ in}^2
• 12인치 피자 2판: 반지름 6인치×2→2×(π×62)≈226.2 in26\text{인치} \times 2 \rightarrow 2 \times (\pi \times 6^2) \approx 226.2\text{ in}^2
결과적으로 18인치 피자 1판이 12인치 피자 2판보다 약 12.5%나 더 큽니다. 대부분의 피자 가게에서 18인치 1판이 12인치 2판보다 가격도 저렴하므로, 무조건 큰 사이즈 1판을 시키는 것이 생활 속 기하학의 꿀팁입니다!

2. 음료수 캔과 참치캔이 사각 상자가 아닌 원기둥인 이유

마트에 진열된 콜라, 맥주, 참치캔은 왜 네모난 직육면체가 아니라 둥근 원기둥 모양일까요?
그 이유는 바로 "같은 양의 음료를 담으면서 캔 껍데기(알루미늄 재료비)를 가장 아낄 수 있는 모양"이기 때문입니다. 동일한 355ml355\text{ml} 부피를 담을 때, 네모난 직육면체 상자는 원기둥보다 표면적이 약 15~20% 더 많이 소모됩니다.
수학적으로 표면적을 가장 극단적으로 줄일 수 있는 도형은 '구(Sphere)'이지만, 구는 바닥에서 데굴데굴 굴러다니고 한 손으로 쥐기 어렵습니다. 따라서 "재료비 절감 + 손쉬운 그립감 + 쓰러지지 않는 안정성"을 모두 만족하는 인류 공학의 최적 타협점이 바로 원기둥입니다.

3. 도넛(Torus)과 손잡이 달린 머그컵이 수학적으로 같은 모양이라고?

기하학의 한 분야인 위상수학(Topology)에서는 고무찰흙처럼 물체를 찢거나 붙이지 않고 부드럽게 늘리고 줄여서 다른 모양을 만들 수 있다면 '완전히 같은 도형'으로 간주합니다.
놀랍게도 둥근 도넛(Torus)과 손잡이가 달린 커피 머그잔은 위상수학적으로 100% 동일한 도형입니다. 머그잔의 몸통 부분을 찰흙처럼 꾹꾹 눌러 납작하게 만들면 손잡이 구멍만 남아 정확히 도넛 모양이 되기 때문입니다.
수학자들은 농담 삼아 "위상수학자는 도넛과 커피잔을 구별하지 못하는 사람"이라고 부르기도 합니다. 두 도형 모두 "구멍(Hole)이 정확히 1개"라는 기하학적 본질을 공유합니다.

4. 복사해도 여백이 남지 않는 A4 용지의 비밀 (1:21 : \sqrt{2}의 마법)

일반적인 직사각형 종이를 반으로 자르면 가로세로 비율이 달라져 길쭉해지거나 뚱뚱해집니다. 하지만 복사용지인 A4 용지는 반으로 접으면 정확히 A5가 되고, 2장을 합치면 A3가 되며 가로세로 비율이 항상 완벽하게 유지됩니다.
이것이 가능한 이유는 A4 용지가 1:21 : \sqrt{2} (약 1:1.4141 : 1.414)라는 황금 비율로 재단되어 있기 때문입니다:
21÷2=12⟺1:2\frac{\sqrt{2}}{1} \div 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1 : \sqrt{2}
이 기하학적 성질 덕분에 인쇄물을 70.7%로 축소 복사하거나 141.4%로 확대 복사해도 종이에 빈 여백이 남거나 글자가 찌그러지지 않고 칼같이 딱 맞아떨어집니다.

5. 택배 상자의 마법: 치수를 2배 늘리면 부피는 8배로 폭증한다!

상자의 가로, 세로, 높이를 각각 2배씩 늘리면 크기도 2배가 될 것 같지만, 실제 부피와 들어가는 내용물의 양은 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8배로 폭증합니다.
• 길이: 2배 (kk배)
• 겉넓이(포장지 면적): 22=42^2 = 4배 (k2k^2배)
• 부피(담기는 용량 & 무게): 23=82^3 = 8배 (k3k^3배)
이 원리를 반대로 활용하면, 포장 상자의 가로·세로·높이를 각각 10%만 줄여도 전체 부피는 약 27%나 줄어듭니다.(0.93=0.7290.9^3 = 0.729) 전 세계 물류 기업들이 택배 박스를 1cm라도 줄이려고 치열하게 기하학적 최적화를 연구하는 이유입니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

Q.타원(Ellipse)의 둘레는 왜 간단한 공식으로 딱 떨어지지 않나요?

타원의 둘레는 초등 함수(대수함수나 삼각함수)의 유한한 조합으로 표현할 수 없으며, 제2종 완전 타원 적분(Complete Elliptic Integral of the Second Kind)을 필요로 합니다. 본 계산기에서는 오차가 0.001% 미만으로 극히 정밀한 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)의 2차 근사 공식 C≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)]C \approx \pi [ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} ]을 채택하여 실시간 계산합니다.

Q.원환체(토러스, Torus)의 겉넓이와 부피는 어떤 원리로 계산되나요?

토러스는 파푸스-굴딘 정리(Pappus's Centroid Theorem)에 의해 계산됩니다. 단면 원의 둘레(2πr2\pi r)가 큰 원의 궤적(2πR2\pi R)을 따라 회전하므로 겉넓이는 (2πr)×(2πR)=4π2Rr(2\pi r) \times (2\pi R) = 4\pi^2 R r이 되며, 단면 원의 면적(πr2\pi r^2)이 회전하므로 부피는 (πr2)×(2πR)=2π2Rr2(\pi r^2) \times (2\pi R) = 2\pi^2 R r^2이 됩니다. (단, R≥rR \ge r 조건)

Q.단위 변환 시 면적과 부피의 배율은 어떻게 적용되나요?

길이 단위가 kk배 변하면 넓이는 k2k^2배, 부피는 k3k^3배로 스케일링됩니다. 예를 들어 1m1\text{m}는 100cm100\text{cm}이지만, 1m21\text{m}^2는 10,000cm210,000\text{cm}^2 (1002100^2)이며, 1m31\text{m}^3는 1,000,000cm31,000,000\text{cm}^3 (1003100^3)가 됩니다. 본 도구는 선택된 기준 단위계에 맞춰 지수 배율을 완벽히 동기화합니다.

Q.입력 가능한 최솟값이나 제한이 있나요?

모든 도형의 반지름, 모서리, 가로, 세로, 높이는 0보다 큰 양수(실수)여야 합니다. 토러스의 경우 중심 반경(RR)이 단면 반경(rr)보다 크거나 같아야 내부 교차 없는 표준 형태가 유지됩니다.